如果有人问你什么是自由，你该怎么回答?
很多人会认为：无忧无虑，想去哪里就去哪里，想在什么时间干什么就干什么，就是真正的自由。
而反过来，你的不自由具体有哪些呢?
经过深思熟虑之后会发现，不自由包含两方面：
一是你的行为受到时间或空间的限制。
例如，你不能在某个时间段内干某件事，或者只能在某个时间段干某件事。
二是某种压力或推动力令你无法停歇。
例如，作为一枚鸡娃，你的父母每天都给你鼓劲，为了将来考个好大学，除了睡觉吃饭，你都在拼命学习。
若转到物理问题，不自由的情况相应也有两种。
第一种情况，物体的运动受到限制，或者说约束。它是通过一类叫约束力(也称约束反力)的作用来实现的。
在约束力的作用下，描述物体运动的变量满足一些方程，方程越多，解出的未知数就越多，剩下的独立变量就越少了。
如果有 个质点，理论上讲，它的每个质点的位置需要 3 个独立坐标( , , )来确定，那么 个质点一共需要 个变量来描述。
假设它们一共受到 个约束，由于每个约束对应一个方程，一个方程理论上可确定一个变量，这样就一共确定 个变量，那么最终剩下的独立变量的个数为 我们称这些独立变量的个数 为体系的自由度。
例如，由 个粒子组成的体系，若粒子在振动，但整体固定不动，则自由度为 ，为什么呢?留给读者自己想一想。
第二种情况，物体受到外力驱动，或者说受主动力作用。例如自由落体受到的重力、拖箱受到的水平拉力都是主动力。
有一点值得强调的是，粒子并没有在空间中弥散开来，它是以整体按波函数的模方决定的概率分布在空间中各处。所以当它在某处被发现时，它将作为一个完整的个体被获得，拥有它的本来属性，包括电荷、质量和自旋等。
既然是自由粒子，那么理所当然，它在空间任意点出现的机会是一样的。所以，它不会停在某个地方不动，也不会沿着一条直线匀速运动，而是以相同的几率出现在空间任何一点。
看到没 —— 以相同的概率出现在空间任何一点!试问，世界上还有比这更完美的自由吗?
有的人可能会有一些不切实际的“奇思妙想”，例如他觉得“随时随地想去哪里就去哪里，而且马上就到”才是真正的自由。
拜托，这可不是物理中的自由!恰好相反，这根本不是自由，因为这种“来去的自由”依赖于粒子的速度(因为要快)和加速度(因为要随时调换方向)，粒子必然时刻受到强大外力的作用，怎么可能是物理上的自由呢?
在量子力学中，物理上的自由就是不受时空地限制，粒子能出现在所有的地方。并且再加了一个条件 —— 相同的概率!
你可能觉得这个条件是画蛇添足，因为你可能想更多的呆在某个地方，呆在另一些地方的机会少一点，或者你甚至想随意的改变处在某点的概率，但现在却是同样的概率，这看起来不够自由啊!
这种想法与上面那个“奇思妙想”一样，不是物理中所说的“自由”，而是不自由。
说了这么多，你应该明白：量子力学中所给出的自由粒子所享有的自由是物理中最真正、最彻底的自由。而相比起来，牛顿第一定律中所说的那个自由不是真正的自由。
现在你可能有一个疑问：既然是自由粒子，它的动量守恒。那么，其动量应该始终沿某个方向，那它不一直沿着某个直线运动吗?如果这样的话，它哪有机会在整个空间中到处乱跑?
没错，自由粒子动量守恒，也就是说，粒子的动量的确是朝着某个方向。但是，这并不意味着粒子总是沿着某个方向运动!
按照量子力学的统计诠释，粒子只是神不知鬼不觉的突然出现在你探测到它的地方，你不需要也无法知道它是从哪里过来的，因为它在不同地方出现的概率是同时性的。它的整体随时可以出现在空间中任何一点。
所以，自由粒子并不会因为动量守恒而被限制在一个点或一条线上，它在空间各处出现的机会是均等的，它的状态是一种彻底的自由状态。
最后再来看看，满足这种概率均匀分布特征的自由粒子的状态描述是怎样的?又是如何得到的?
前面提到了，量子力学用波函数描述粒子状态，而波函数是量子力学的基本方程 —— 薛定谔方程的解。所以，我们要描述自由粒子，就必须求解薛定谔方程。
薛定谔方程的基本形式为
其中 代表来自外界的作用。既然现在是自由粒子，则 ，所以自由粒子满足的薛定谔方程为 它的解是
这就是自由粒子的波函数。根据波函数的统计诠释，在空间任意点发现粒子的概率密度为 这说明，在任意点发现粒子的概率是相同的。
说明：既然是自由粒子，其所在空间是无限大的，而粒子在每个地方又具有相同的发现概率，那么这个概率只能为零。因此，自由粒子不可能是定态。但这不影响自由粒子在空间各处概率相等这一结论。
根据德布罗意关系式
以及 可得 这个波在 时刻的等相面为 其中 是波面上的点的位矢在波矢上的投影值。对相同的时刻 ， 是定值，说明等相面都是平面，所以自由粒子的波函数具有平面波的形式。
需要说明的是，虽然经典的平面波的波函数还可以写成实数形式 —— 或 函数的形式，但作为含有虚数 的薛定谔方程的解，自由粒子的波函数必须是复数形式。实际上，只有这样才能保证粒子概率均匀分布的要求，因为正弦或余弦函数的模方对空间依然是周期起伏的。
关于自由粒子的波函数的一件有意思的事情是，很多人喜欢利用自由粒子的波函数来“反推”薛定谔方程。
因为人们凭直觉相信，自由粒子的波函数应该具有平面波的形式。对此波函数求时间和空间偏导，可得到能量和动量的平方分别满足
联合经典力学中动量与能量之间的关系 就可得到一个等式，该式正好是自由粒子所满足的薛定谔方程。 在此基础上考虑到能量中应包含势能 ，这样就得到任意粒子所满足的薛定谔方程了。
之所以这里用带引号的“反推”，因为薛定谔方程现在被认为是量子力学的一条基本假设，是无法从别的结论推得的。也就是说，任何试图推导薛定谔方程的做法本身是没有意义的 —— 虽然你的确可以用这种“反推”的方法找回你大脑中遗忘的薛定谔方程。
综上所述，关于自由的哲学观点，量子力学比牛顿力学先进多了!
其实，岂止自由这件事，在几乎所有方面，量子力学都比牛顿力学更先进和深刻。它被认为是人类洞察自然世界的最高成就。迄今为止，它的理论完美地描述了这个世界，虽然目前人类还无法真正理解它的本质。
参考文献
Griffiths, David J.; Schroeter, Darrell F. (2018). Introduction to Quantum Mechanics(Third ed.). Cambridge University Press.
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